РЕШУ ЦТ — математика

Варианты заданий

1.  Задание № 2310 Добавить в вариант

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2024 год. Вариант 6

Классификатор алгебры: 3\.11\. Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения

Найдите сумму квадратов корней уравнения $x в квадрате плюс 4x минус 8 = 6 корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 4x плюс 8 конец аргумента .$

Решение. Пусть $t = корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 4x плюс 8 конец аргумента ,$ тогда $x в квадрате плюс 4x минус 8 = t в квадрате минус 16.$ Получим:

$t в квадрате минус 16 = 6t равносильно t в квадрате минус 6t минус 16 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t = 8, t = минус 2. конец совокупности .$ $t в квадрате минус 16 = 6t равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 6t минус 16 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t = 8, t = минус 2. конец совокупности .$ $t в квадрате минус 16 = 6t равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 6t минус 16 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t = 8, t = минус 2. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной:

$совокупность выражений корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 4x плюс 8 конец аргумента = 8, корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 4x плюс 8 конец аргумента = минус 2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 4x плюс 8 конец аргумента = 8 равносильно x в квадрате плюс 4x плюс 8 = 64 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 4x плюс 4 = 60 равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = 60 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x плюс 2 = 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , x плюс 2 = минус 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента минус 2, x = минус 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента минус 2. конец совокупности .$ $совокупность выражений корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 4x плюс 8 конец аргумента = 8, корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 4x плюс 8 конец аргумента = минус 2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 4x плюс 8 конец аргумента = 8 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 4x плюс 8 = 64 равносильно x в квадрате плюс 4x плюс 4 = 60 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = 60 равносильно совокупность выражений x плюс 2 = 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , x плюс 2 = минус 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента минус 2, x = минус 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента минус 2. конец совокупности .$ $совокупность выражений корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 4x плюс 8 конец аргумента = 8, корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 4x плюс 8 конец аргумента = минус 2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 4x плюс 8 конец аргумента = 8 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 4x плюс 8 = 64 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 4x плюс 4 = 60 равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = 60 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x плюс 2 = 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , x плюс 2 = минус 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента минус 2, x = минус 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента минус 2. конец совокупности .$ $совокупность выражений корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 4x плюс 8 конец аргумента = 8, корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 4x плюс 8 конец аргумента = минус 2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 4x плюс 8 конец аргумента = 8 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 4x плюс 8 = 64 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 4x плюс 4 = 60 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = 60 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x плюс 2 = 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , x плюс 2 = минус 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента минус 2, x = минус 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента минус 2. конец совокупности .$

Найдем сумму квадратов найденных корней:

$левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка минус 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка в квадрате =$
$= 60 минус 8 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента плюс 4 плюс 60 плюс 8 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента плюс 4 = 128.$ $левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка минус 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка в квадрате =$
$= 60 минус 8 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента плюс 4 плюс 60 плюс 8 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента плюс 4 =$
$= 128.$

Ответ: 128.

Ответ: 128

2310

128

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2024 год. Вариант 6

Классификатор алгебры: 3\.11\. Иррациональные уравнения

Методы алгебры: Замена переменной

2.  Задание № 2342 Добавить в вариант

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2024 год. Вариант 7

Иррациональные уравнения

Найдите сумму квадратов корней уравнения $x в квадрате плюс 5x минус 8 = 2 корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 5x плюс 7 конец аргумента .$

Решение. Пусть $t = корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 5x плюс 7 конец аргумента ,$ тогда $x в квадрате плюс 5x минус 8 = t в квадрате минус 15.$ Получим:

$t в квадрате минус 15 = 2t равносильно t в квадрате минус 2t минус 15 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t = 5, t = минус 3. конец совокупности .$ $t в квадрате минус 15 = 2t равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 2t минус 15 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t = 5, t = минус 3. конец совокупности .$ $t в квадрате минус 15 = 2t равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 2t минус 15 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t = 5, t = минус 3. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной:

$совокупность выражений корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 5x плюс 7 конец аргумента = 5, корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 5x плюс 7 конец аргумента = минус 3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 5x плюс 7 конец аргумента = 5 равносильно x в квадрате плюс 5x плюс 7 = 25 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 5x минус 18 = 0 равносильно x = дробь: числитель: минус 5 \pm корень из: начало аргумента: 97 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ $совокупность выражений корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 5x плюс 7 конец аргумента = 5, корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 5x плюс 7 конец аргумента = минус 3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 5x плюс 7 конец аргумента = 5 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 5x плюс 7 = 25 равносильно x в квадрате плюс 5x минус 18 = 0 равносильно$
$равносильно x = дробь: числитель: минус 5 \pm корень из: начало аргумента: 97 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ $совокупность выражений корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 5x плюс 7 конец аргумента = 5, корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 5x плюс 7 конец аргумента = минус 3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 5x плюс 7 конец аргумента = 5 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 5x плюс 7 = 25 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 5x минус 18 = 0 равносильно x = дробь: числитель: минус 5 \pm корень из: начало аргумента: 97 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ $совокупность выражений корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 5x плюс 7 конец аргумента = 5, корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 5x плюс 7 конец аргумента = минус 3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 5x плюс 7 конец аргумента = 5 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 5x плюс 7 = 25 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 5x минус 18 = 0 равносильно$
$равносильно x = дробь: числитель: минус 5 \pm корень из: начало аргумента: 97 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Найдем сумму квадратов найденных корней:

$левая круглая скобка дробь: числитель: минус 5 плюс корень из: начало аргумента: 97 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: минус 5 минус корень из: начало аргумента: 97 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =$
$= дробь: числитель: 25 минус 10 корень из: начало аргумента: 97 конец аргумента плюс 97 плюс 25 плюс 10 корень из: начало аргумента: 97 конец аргумента плюс 97, знаменатель: 4 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 50 плюс 194, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 244, знаменатель: 4 конец дроби = 61.$

Ответ: 61.

Ответ: 61

2342

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2024 год. Вариант 7

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2310	128
2	2342	61